Aus einem Urteil (Az. I ZR 169/12) des BGH vom 08.01.2014, dessen Begründung jetzt verfügbar ist, ergibt sich, dass Eltern für ihre volljährigen Kinder nur unter sehr eingeschränkten Voraussetzungen haften:
Der Inhaber eines Internetanschlusses haftet grundsätzlich nicht als Störer auf Unterlassung, wenn volljährige Familienangehörige den ihnen zur Nutzung überlassenen Anschluss für Rechtsverletzungen missbrauchen. Erst wenn der Anschlussinhaber konkrete Anhaltspunkte für einen solchen Missbrauch hat, muss er die zur Verhinderung von Rechtsverletzungen erforderlichen Maßnahmen ergreifen.
Das Urteil kann unter dem nachfolgenden Link abgerufen werden.